補足その１：確率と統計

このサイトに載せた色々なデータは、すべて筆者が個人的に調査したもので無保証です。正確なデータを知るためには、ROMデータを直接調べたり同一記録データを読み込ませて反復調査したりするのが理想なのですが、機材も知識もないため、すべて実機のみによる地道なサンプル収集を元に推測しました。ここでは、掲載情報に関する信頼性判断の助けにして頂くため、その推測過程について報告したいと思います。統計に関して専門用語を使っている部分もありますが御勘弁を。

• 各モンスターのアイテム所持率
• 特殊攻撃の確率
• ルーラの指輪
• 罠の作動確率
• 眠りに関する確率
• 攻撃が外れる確率
• ミミックが化ける確率
• 祈りの巻物
• パルプンテの巻物
• レベルアップ時のHP増加量

各モンスターのアイテム所持率

もっと不思議のダンジョンで各モンスターを1000体ずつ倒し、アイテムを持っていた回数を数えました。ただし、ベビーサタンなど必ずアイテムを落とすモンスターや、マドハンドなど絶対にアイテムを落とさないモンスターは除いてあります。パルプンテの巻物を落としたのに気付かず数え漏らすという事態を避けるため、基本的にシャドーの指輪を装備した状態でカウントしました。

しかし、本当は1000回ぐらいのカウントでは今一つ物足りません。 最も回数が少なかったモンスターだと9回しかアイテムを落とさなかったのですが、普通の確率過程なら二項分布に従うはずなので、その統計誤差は大体√(9×(1000-9)/(1000-1))/1000=0.3%ぐらいになります。9/1000=0.9%ですから0.9±0.3%(※)、つまり推定値に比べて1/3という粗い精度でしか確率を推定できないのです。 かと言って、これ以上サンプル数を増やすのはちょっとしんどすぎます。(1000回ずつ数えるのにも相当の時間がかかったので…)
※±0.3%というのは標準誤差の推定値であって、推定確率の確からしさの目安となる値です。0.6〜1.2%の範囲に必ず入るという意味ではないので念のため。以下に出てくる数値もすべて同様です。

そこで、「同じ確率に設定されているモンスターが複数存在する」という仮説を採用してみることにします。ゲームを作ったのが人間である以上、あまり細かいパラメータの違いを持たせるとは考えにくいからです。実際、「モンスターAは1%、モンスターBは2%」ぐらいの違いを持たせたところで、プレイヤーはどちらも「滅多にアイテムを落とさない」としか感じないでしょう。製作者の立場に立つなら細かすぎる設定の違いに意味はないのでわざわざそんな事をしないと思われます。

図1: 1000体倒したうちアイテムを持っていた数の分布

度数分布を図1に示しました。これを見ると、四つのグループに分けられるように見えます。ゲームをプレイして実感として感じられる違いというのもせいぜいこんなものでしょう。一番確率の小さいグループには13種類、二番目には7種類、三番目には3種類、四番目には1種類のモンスターが属していることになります。それぞれのグループに属するモンスターは同じ確率に設定されているとして、その合計をもって確率を計算してみると、それぞれ1.5±0.1%、16.3±0.4%、33.8±0.9%、74.2±1.4%となりました。

ここで終わりにしてもいいのですが、たぶん真の設定値は何かキリのいい数字のはずです。精度を鑑みるに、恐らくは1/60、1/6、1/3、3/4といったところでしょうか。最初の値は他と比べてそれらしい数字に思えたので1/60というものを採用しましたが、数値だけ見れば1/64とした方が若干結果に近く、こちらも十分キリのいい数字です。また、他の数字も内部的には例えば1/6ではなく10/64などとなっている可能性がありますが、残念ながら両者を区別できる程度の統計量を確保することはできませんでした。

ちなみに、エニックス発行の公式ガイドブックにも各モンスターのアイテムを落とす確率なるものが載っており、「絶対に落とさない」「めったに落とさない」「約6分の1」「ときどき落とす」「約2分の1」「必ず落とす」の六種に分類されています。「めったに落とさない」の具体的な確率が1/60、「ときどき落とす」の確率が1/3に対応しているわけです(語感からすると「ときどき落とす」＜「6分の1」っぽく聞こえるような気もするので、なぜこんな表現をとったのかはよくわかりませんが……)。

さて、ここで問題になるのがドラゴンの確率です。ガイドブックでは1/2となっていますが筆者の調査では3/4。念のため「不思議のダンジョン」でも100体倒してカウントしてみたのですが、うち77体がアイテムを持っていました。確率を推定すると77.0±4.2%に相当しますから、やはり3/4は妥当な数字のように思われます。実際のところ、仮に1/2という設定が正しいとして偶然1000回中742回以上もしくは100回中77回以上アイテムを持っている確率などというのは、天文学的な低さになります。この点に関してはガイドブックの値が間違っていると考えるべきでしょう。

特殊攻撃の確率

もっと不思議のダンジョンで、モンスターが特殊攻撃をしかけてきた回数を数えました。確率の高さによって500回もしくは1000回とカウント数を変えてあります。また、わらいぶくろとベビーサタンのワープについては、条件がなかなか揃わないため100回ずつと更に少ないサンプル数となっています。リリパットについては、矢を撃たない事の方が珍しいので、距離を置いた上でカウントし、移動した回数の方を記しました。

まずは、100〜500回のサンプルをとった最初の7種類の統計についてです。恐らく、これらはすべて1/2の確率で特殊攻撃を行うとみなして良いでしょう。 念のため、これらの事象の確率がすべて同じとして全合計から確率と統計誤差を推定してみると、2700回中1354回ですから50.1±1.0%となります。

問題は、1000回のサンプルをとった残り八種類の統計についてです。1/2のグループと確率が異なるであろう事は明らかですが、この中でも237回から335回とバラけており、これらすべてが同じ確率で起こる事象と考えるのはかなり無理があります。例えば、 この両極端な二種類の特殊攻撃確率を等しいとした場合、推定される確率は二つのケースの平均から28.6%となりますが、この確率のもとで実際の測定結果が実現する確率というのは非常に低いものとなります。1000回の試行で237回以下しか起こらない確率と335回以上起こる確率を、28.6%という値を使って計算してみると、それぞれ0.03%と0.04%にしかならないのです。両者の確率は異なっていると考えるべきでしょう。

もう少し詳しく、それぞれの事象の確率について信頼率99%で区間推定を行うと、以下のようになります。

更に、いくつかの仮定を加えて考えてみます。

• 少なくとも二種類以上の設定確率がある
• かといってすべてのモンスターが別々の設定値をもっているとは考えにくい
• 設定値はキリのいい数字であると思われる

以上の条件と推定区間を照らし合わせて判断するに、最初の六種類(まどうし〜どろ人形)と最後の二種類(きめんどうし〜おばけキノコ)とに分けられそうに思えます。二つのグループに分かれているとして確率を推定すると、それぞれ25.9±0.6%と32.5±1.0%です。ここでは、前者は1/4、後者は1/3というのを推定値として採りたいと思います。

ルーラの指輪

ルーラの指輪のワープはどういった確率で起こるのかという解析です。もっと不思議のダンジョンで、ルーラの指輪を装備してから、もしくは前回にワープしてから何歩目でワープするかを500回数えました。この歩数の度数分布が図2です。

図2: ルーラの指輪を装備してワープするまでの歩数

歩数に対するワープ確率は、見た感じ指数関数的に減少しているようです。これは、1歩ごとに一定確率でワープが起こるとした場合の確率分布に相当します。歩数をx、確率をフリーパラメータPとして、500P(1-P)^(x-1)という関数を最小二乗法を使って当てはめてみたところ、P=0.0630±0.0032という結果が得られました。実際の設定値はキリの良い数字になっていると推測されるので、恐らく1/16=0.0625が真の値でしょう。

罠の作動確率

もっと不思議のダンジョンで、既に発見されている罠を踏んだ場合と、未発見だった罠を踏んだ場合とに分けてデータを採取しました。前者については、同一の硫酸の罠を繰り返し踏んでみたところ、500回中369回が作動。後者については、踏んだ罠の種類は不定で500回中373回が作動しました。どの罠も同じ確率で作動するとするなら、既発見時と未発見時とで統計的に有意な確率の違いは見られなかったことになります。真の設定値はキリの良い数字になっていると推測されるので、恐らくは3/4の確率で作動するというのが正しいところでしょう。

眠りに関する確率

モンスターが目を覚ます確率について考えます。調査するのは以下の三種類です。

1. 眠っているモンスターの隣に行った時に目を覚ます確率
2. 眠っているモンスターがいる部屋を出入りした時に目を覚ます確率
3. モンスターが出現する時点で既に目を覚ましている確率

三つのケースとも、まどうしのような眠りっぱなしのモンスターや、マドハンドのような最初から起きっぱなしのモンスターは除いてカウントします。モンスターハウス内のモンスターも特殊な睡眠・覚醒をするのでカウントには使用しませんでした。その他のモンスターの種類による差異は考慮していません。また、二番目のケースについては部屋に入る時と出る時とのデータは区別しませんでした。

三番目のケースの調査方法についてはちょっと説明が必要かもしれません。単純に出合ったモンスターが起きているか眠っているかをカウントしたのでは、起きているモンスターが移動するせいでバイアスのかかったデータになってしまう可能性があります。そこで、とうぞくの指輪を装着して階段を昇り降りし、降り立った部屋にたまたま最初からいたモンスターが起きているかどうかをカウントしました。

それぞれ100回ずつカウントしたところ、順に50、50、47という結果を得ました。統計誤差と一緒に書くとそれぞれ50±5%、50±5%、47±5%となります。すべてのケースで確率が等しければ300回中147回とできるので、もう少し精度が良くなって49±3%です。実際の設定値はキリのいい数字になっていると思われるので、1/2とみなしてよいでしょう。

攻撃が外れる確率

もっと不思議のダンジョンで、トルネコがモンスターを攻撃した場合、モンスターがトルネコを攻撃した場合のそれぞれについて、2000回ずつの試行を行いました。ただし、HP・レベル・武器・力・モンスターの種類といった状況の違いは一切無視してあります。結果は、トルネコの攻撃では247回、モンスターの攻撃では229回が外れでした。統計誤差も併せて求めると、外れる確率はそれぞれ12.4±0.7%と11.5±0.7%となります。

更に、モンスターに矢を射った場合、リリパットがトルネコに矢を射った場合、モンスターに対してアイテムを投げつけた場合についても500回ずつの試行を行いました。結果はそれぞれ、72回、69回、58回でした。こちらも同様に、14.4±1.6%、13.8±1.5%、11.6±1.4%という値が得られます。

それぞれの値を比べると、統計的に有意な差があるとは言いがたい結果になっています。そこで、もう少し精度を上げるために、これらの確率がすべて同じと仮定して試行の全合計で計算してみましょう。5500回のうち675回が外れですから、12.3±0.4%となります。キリのいい数字に設定されているという仮定を用いるなら、1/8を真の確率とみなしてよいと思われます。

ミミックが化ける確率

ミミックは様々なアイテムに化けますが、その確率に差はあるのでしょうか？もっと不思議のダンジョンで、ミミックが何に化けていたかを1000回カウントしてみました。結果を以下に示します。「推定確率」は、それぞれ単独の結果から割合を出し、二項分布に従うとした場合の標準偏差の期待値を計算したものです。

全11種類ありますから、もし化ける確率がすべて等しいならば、期待値は91回ずつになるはずです。結果を見ますと、大半がその前後にあるようですが、鉄の金庫(113回)や巻物(76回)などはやや外れているようにも見えます。鉄の金庫だと2σを若干超えるぐらいの外れ方ですから、微妙なところかも……果たしてそうでしょうか？

確かに、単独で考えると、確率1/11の事象で1000回試行して結果が113回以上になる確率はあまり高くなく、1%ほどです。しかし、これは実は確率を低く見積もりすぎている計算です。実際には、「11種類の事象がそれぞれ1/11の確率で起こったとして、そのうちどれか一つ以上の結果が113回以上になる確率」を考えなければなりません。これだと単独の集計に対する計算のおおよそ11倍となるわけで、10%を超える数字になります。危険率10%以上ということであれば、統計的に有意な差は見られなかったと解釈するべきでしょう。恐らく、どのアイテムにもほぼ同確率で化ける、と考えて良いと思われます。

祈りの巻物

祈りの巻物を読んだ時に増える回数は、どういう割合で出るのかという調査です。合計500回読んでみました。

全5種類のうち、一番多かったものは113回、少なかったものは86回でした。「5種類の事象がそれぞれ1/5の確率で起こったとして、そのうちどれか一つ以上の結果が113回以上になる確率」と「86回以下になる確率」はそれぞれ三割以上あります。統計的に有意な差は見られなかったと言って良いでしょう。恐らく、すべて同じ確率に設定されていると思われます。

パルプンテの巻物

パルプンテの巻物を読んだ時に、どの効果がどういう割合で出るのかという調査です。倉庫から不思議のダンジョンに持ち込み、合計1000回読んでみました。

全8種類の効果のうち、一番多かったものは139回、少なかったものは109回でした。「8種類の事象がそれぞれ1/8の確率で起こったとして、そのうちどれか一つ以上の結果が139回以上になる確率」は六割以上、「109回以下になる確率」は四割以上あります。統計的に有意な差は見られなかったと言って良いでしょう。恐らく、すべて同じ確率に設定されていると思われます。

レベルアップ時のHP増加量

トルネコがレベルアップすると、HPの最大値が3〜7ポイント増えます。その出現頻度を調べてみました。以下が1000回分の結果です。

調べる前は、均等に1/5ずつの確率で増加量が決まるのではないかと思っていたのですが、実際はそうではないようです。5ポイント増える確率が最も高く、3や7増える確率が最も低いという結果となりました。比率で言うと、大体1:2:3:2:1といった感じでしょうか。

どろ人形に踊られた時のHP減少量についても200回分のデータを集めてみました。おおむね同じ傾向を示しているようです。

ちなみに、SFC版風来のシレンで同じような確率分布になっているというプログラムの解析報告がありました。こちらは2〜6ポイント増えますが、その比率はトルネコと同様になっているという話のようです。

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